دومِ خردادِ ۱۳۹۶.
منظورم همین است که نوشتهام: حتی اگر مسیر طولانیتر بشود (نه اینکه حتی اگر طولانیتر از آنی باشد که در ابتدا تصور کرده بودیم).
از وبلاگهای بسیار معدودی که میخوانم یکی هست که نویسندهاش را نمیشناسم، یا دستکم در مقامِ نویسندهی آن وبلاگ نمیشناسم. چند وقت پیش مطلبِ تأمل برانگیزی نوشته بود و من ذیلاش چیزی نوشتم (اعنی: کامنت گذاشتم). تا امروز که بیش از دو هفته گذشته است آن یادداشتِ چندسطریِ من منتشر نشده است؛ به نظرم رسید که، برای تغییرِ ذائقه و بیرونآمدن از فضای انتخابات، با توضیحِ بیشتری در اینجا منتشرش کنم.
مطلبی که ذیلاش چیزی نوشته بودم حرفی بود دربارهی اینکه گاهی برای چیزی مرزی تعیین میکنیم و میگوییم که موضوع را از آنجا به بعد تحمل نخواهیم کرد، اما حواسمان نیست که، در مواردی، ما که جلوتر که میرویم آن مرز هم جلوتر میرود. (مثلاً آن مرزْ میتواند حدِ تحملِ ما در برابرِ درد باشد، و همچنان که درد زیاد میشود شاید آستانهی تحملِ ما هم بالاتر برود.) اصلِ مطلب البته جالب است و میشود دربارهاش فکر کرد. چیزی که میخواهم بگویم—بدونِ اینکه در این توهّم باشم که مسائلِ عمیقِ انسانی را میشود با ریاضیاتِ مقدماتی حل کرد—مسألهای در ریاضیات است که شاید مدلی برای این موضوع باشد و شاید نباشد. و این مسأله نمونهای از پارادوکسهای آن اندیشمندِ اِلِئایی نیست.
مسأله مسألهی نسبتاً مشهوری در رشتههای همساز است و جورهای مختلفی میشود بیاناش کرد و با معلوماتِ دبیرستانی میشود به آن پرداخت (در همین سالِ تحصیلیای که در اواخرش هستیم، من در دو کلاسِ دهم مسأله را مطرح کردم و با هم حل کردیم). فرض کنیم حلزونی در یک سرِ یک نوارِ لاستیکی قرار گرفته است و به طرفِ دیگرِ نوار—که به شکلِ خطی مستقیم است—حرکت میکند. طولِ نوار یک کیلومتر است و سرعتِ حلزون یک سانتیمتر در ثانیه. (پس حلزون اگر بخواهد بیتوقف مسیرِ مستقیمِ یککیلومتری را طی کند صدهزار ثانیه طول خواهد کشید.) تا اوضاع سختتر بشود، بیایید فرض کنیم که نوارِ لاستیکی کِش میآید: نوار، به شکلی همگن، در پایانِ هر ثانیه یک کیلومتر طولانیتر میشود: پس بعد از یک ثانیه طولِ نوار میشود دو کیلومتر، بعد از دو ثانیه میشود سه کیلومتر، و غیره. آیا حلزون به انتهای مسیر میرسد؟ جواب این است که بله!
چرا؟
در مدتِ یک ثانیهی اول، حلزون مجموعاً 0.00001 از طولِ اولیهی مسیر را طی میکند (یعنی نسبتِ راهی که رفته به کلّ راه 5−10 است)؛ اما چون در پایانِ ثانیهی اول طولِ مسیر یک کیلومتر اضافه شده است و شده است دو کیلومتر، نسبتِ راهی که حلزون طی کرده است به کلّ طولی که مسیر در پایانِ ثانیهی اول دارد عبارت است از 5−10*½. حلزون در یک ثانیهی دوم باز یک سانتیمتر جلو میرود، و بنابراین کلّ مسیری که از ابتدای حرکت تا پایانِ ثانیهی دوم طی میکند دو سانتیمتر است؛ چون در پایانِ ثانیهی دوم طولِ مسیر سه کیلومتر شده است (مسیر کِش آمده است)، پس در پایانِ ثانیهی دوم نسبتِ مسیری که حلزون طی کرده است به کلَ مسیر برابر است با 5−10*⅓ + 5−10*½. در پایانِ ثانیهی nام، حلزون این کسر از مسیر را طی کرده است:
(½)(10−5) + (⅓)(10−5)+ (¼)(10−5)+…+ (1/n)(10−5).
آیا امیدی هست که، با زیادشدنِ n، این مقدار بیش از 1 بشود؟ (یادمان هست که چیزی که در سطرِ بالا آمده نسبتِ مسافتِ طیشده به کلّ مسافت است.) خُب، از 5−10 اگر فاکتور بگیریم میبینیم سؤالمان این است: آیا امیدی هست که، با زیادشدنِ n،
(10-5)(½ + ⅓ + ¼ + … + 1/n)
بیشتر از 1 بشود؟ جواب این است که بله، چرا که، با زیادشدنِ n، مقدارِ داخلِ پرانتز میتواند از هر مقدارِ ازپیشتعیینشدهای بیشتر بشود (در اینجا برای ما مهم است که از صدهزار بیشتر بشود). پس حلزون قطعاً به انتهای نوار خواهد رسید.
اینکه آیا میرسد یا نه چیزی است که اثباتاش سخت نیست (ریاضیدانان میگویند که رشتهی همسازْ واگرا است).* موضوع را اگر عجیب مییابیم شاید کمکی کند وقتی توجه کنیم که اگرچه مسیر طولانی و طولانیتر میشود، اما حلزون هر بار که به عقب نگاه کند توجه خواهد کرد که مقداری که از نقطهی شروع فاصله گرفته است بیشتر از آنی است که خودش حرکت میکرد اگر که مسیر کش نمیآمد.
* اثباتِ اینکه مقدارِ داخلِ پرانتز دیر یا زود از هر عددی بزرگتر میشود آسان است. جملهی اول را فعلاً کنار بگذاریم. مجموعِ دو جملهی بعدی (یعنی جمعِ ⅓ و ¼) بیشتر است از ¼ + ¼، یعنی بیشتر از ½ است. مجموعِ چهار جملهی بعدی (از یکپنجم تا یکهشتم) بیش از مجموعِ چهار تا یکهشتم است، یعنی بیشتر از ½ است. و به همین ترتیب. یعنی آنچه در پرانتز داریم بزرگتر است از تعدادی ½. پس n را اگر به اندازهی کافی بزرگ بگیریم، آنچه در پرانتز است از هر عددِ ازپیشتعیینشدهای بزرگتر میشود.