از اباطیلی که به‌جای ریاضیات می‌گویند

در قرنِ گذشته که چند سال در مدرسه‌هایی ریاضیات درس داده بودم بحثِ تِست و کنکور این‌قدر حادّ و زشت نبود. در این سه سالی که اخیراً درس دادم وضع از این نظر بسیار بدتر شده بود و بخشِ زیادی از کارم این بود که مخاطبان‌ام را متقاعد کنم که این‌طور نیست که هر مسأله‌ای را باید بشود در (حداکثر) یک دقیقه حل کرد: این‌طور نیست که یا مسأله در یک دقیقه حل می‌شود یا اصلاً حل نمی‌شود. و خوشبختانه مدرسه هم مساعدت کرد و در این سه سال همه‌ی دانش‌آموزانِ کلاس‌‌های من از امتحان‌های تستیِ شعبه‌های دیگرِ مدرسه معاف بودند. و در هر سه سال، جلسه‌‌هایی را گذاشتیم برای دیدنِ عملیِ اینکه وقتی مطلب را بلد باشیم هر سؤالِ تستی‌ای در موضوعِ درس‌مان را که واقعاً در کنکورهای سال‌های گذشته آمده است می‌‌توانیم در زمانِ کوتاهی حل کنیم.

موضوعِ دیگری که زیاد در موردش صحبت می‌کردیم (علی‌الخصوص که بحثِ دنباله‌ها هم در درس‌های رسمی‌مان بود) چیزی است که نمونه‌اش را فراوان دیده‌ایم: چند عدد می‌دهند و از ما می‌‌خواهند که بگوییم عددِ بعدیِ این دنباله چیست. مضحک است که چنین سؤال‌هایی هنوز برای سنجشِ ”هوش“ مطرح می‌شوند، و مضحک‌ترْ این است که اینها حتی در کلاس‌های ریاضی هم هنوز مطرح می‌شوند.

مشکلِ اینها چیست؟ این دنباله را ببینید (فارسی‌بودنِ ویرگول نشان می‌دهد که باید از راست به چپ بخوانیم):

1، 2، 4، 8، 16.

عددِ بعدی چیست؟ آیا قاعده‌ی مدّ‌ِ نظرِ طراحِ سؤال این بوده است که هر عدد دوبرابرِ عددِ قبلی است؟ اگر این‌طور باشد، عددِ بعدی باید 32 باشد. یا شاید نتیجه‌ی قاعده‌ای که در ذهنِ طراح بوده این باشد که عددِ بعدی 17 است؟ هر عددِ yای که در نظر بگیریم، دنباله‌ای هست (یعنی تابعی با دامنه‌ی اعدادِ طبیعی) که پنج جمله‌ی اول‌اش اینها هستند و جمله‌ی ششم‌اش y  است (حتی تابعی هست که ضابطه‌اش چندجمله‌ای است و به ازای ورودیِ 5 خروجیِ 17 می‌دهد)؛ پس، به لحاظِ ریاضی، این سؤال که عددِ بعدیِ این دنباله چیست سؤالی است مهمل. اما اینکه ”منظورِ طراح“ چه بوده است امری است که، به فرضِ معناداربودن، ریاضی نیست. و روشن است که مهم نیست که پنج جمله‌ی اولِ دنباله را داده باشند یا پانصد جمله‌ی اول را: هر تعدادِ متناهی از اعداد را که داده باشند، به ازای هر عددِ y تابعی هست (حتی تابعی با ضابطه‌ی چندجمله‌ای) که خروجی‌های ابتدایی‌اش آن عددها است و خروجیِ بعدی‌اش است. بنابراین، بالاخص، تابعی هم هست که با ورودی‌های 1 تا 5 عددهای بالا را تولید می‌کند (به همین ترتیب)، و با همه‌ی ورودی‌های بعدی جوابِ 17 می‌دهد.

(یا شاید گمان می‌کنیم تابعی که را می‌گیرد و 2 به توانِ n را می‌دهد ”ساده‌تر“ است؟ تعریفی ریاضی برای مقایسه‌ی ”سادگی“ی  توابع داریم؟ به نظرِ من که تابعی که با 1، 2، 4، 8، 16، و از آن به بعد همواره 17 توصیف می‌شود ساده‌تر از تابعِ دیگری است که در همین پاراگراف توصیف شد. موضوعِ ساده‌بودن هم، دست‌کم در این سطحِ مقدماتی، اصلاً ریاضی نیست.)

شیوعِ پدیده‌ی آزمون‌های تستیْ این نکته‌ی بدیهیِ ریاضی را پوشانده است، و هنوز حتی برخی معلمانِ ریاضی صحبت می‌کنند از جوابِ ”طبیعی“ یا جوابِ ”موردِ نظرِ طراح“، و وقتِ نسبتاً زیادی باید صرف بشود تا دانش‌آموزان این را متوجه بشوند که سؤال در موردِ عددِ بعدیِ دنباله سؤالی است که به لحاظِ ریاضی بی‌معنا است مگر اینکه مسأله ناظر باشد به پدیده‌ای طبیعی یا مسأله‌ای ریاضی با توصیفی مستقل.

دانش‌آموزانِ من نوعاً باهوش و قوی بوده‌اند، و هر بار که درس داده‌ام این امکان را داشته‌ام که از مسأله‌ی بسیار خوبی که در صفحه‌های 76 به بعدِ این کتابِ عالی آمده است برای توضیحِ بیشترِ موضوع استفاده کنم. دنباله‌ای را که در بالا در سطرِ مستقلی نوشته‌ام در نظر بگیرید. عددِ بعدی چیست؟ خب، این سؤال بی‌معنی است. یک راهِ معنی‌دارکردن‌اش این است:

روی محیطِ دایره‌ای n نقطه‌ی متمایز بگیرید و همه را به هم وصل کنید (یعنی همه‌ی وترهای متناظر را رسم کنید). فرض کنید نقطه‌ها طوری انتخاب شده‌اند که از هر نقطه‌ی درونِ دایره حداکثر دو تا از این وترها می‌گذرند. حالا سؤال این است: با n نقطه با این شرایط که به هم وصل‌شان کرده باشیم، چند ناحیه در دایره ایجاد می‌شود؟ اگر فقط یک نقطه داشته باشیم، 1 ناحیه داریم (وتری رسم نمی‌شود، و فقط سطحِ دایره را داریم). با دو نقطه، یک وتر و 2 ناحیه داریم. به‌سرعت می‌شود بررسی کرد که با سه‌نقطه 4 ناحیه داریم، با چهار نقطه 8 ناحیه، و با صرفِ کمی وقت می‌شود دید که با پنج نقطه 16 ناحیه داریم. پس همان دنباله‌ی بالا را داریم. می‌پرسیم: عددِ بعدی چیست—و به این سؤال به این صورت معنی داده‌ایم: این عددها به صورتی تولید شده‌اند که توضیح دادیم؛ حالا اگر شش نقطه روی دایره بگیریم (با شرطِ گفته‌شده)، چند ناحیه خواهیم داشت؟ جوابْ 31 است! با کمکِ این مسأله، هم موضوعِ ادامه‌دادنِ دنباله‌ها برایمان روشن‌تر می‌شود، و هم شمردن و ترکیبیات‌مان قوی‌تر می‌شود.

 

22 نظر برای "از اباطیلی که به‌جای ریاضیات می‌گویند"

  1. قرن گذشته ! از دست شما! 

    درود بر شما، به نظر من شما علاوه بر خود علم ریاضی ( یا منطق) استعداد کار روی شیوه ی تدریس هم دارین، منظورم نوشتن مقاله و این ها در مورد شیوه ی تدریس نیست منظورم آماده کردن درس هایی برای عموم و در دسترس عموم هست با شیوه ی خودتون شاید هم نه سبک اما شبه سبک جدیدی پایه گذاری کنید . این یکی از رؤیاهای خودمه اما یک امان از کمال گرایی که ترمز بدی تو طرح درس می گذاره دوم هم بحث با اسپانسر یا بی اسپانسر مسأله این است هست 

     

  2. آزمون معروفی هم که در دبیرستان ها برای سنجش هوش دانش آموزان می گرفته اند (میگیرند) نیز به نظرم همین وضع را دارد: چند شکل داده می شود که هر یک  از دیگری متفاوت است و خواسته می شود شکل بعدی حدس زده شود؛ یا بخشی از یک شکل حذف می شود و سوال این است که شکل چکونه کامل می شود. در اینجا هم باید قاعده ای کشف شود، البته نه قاعده ای میان اعداد.  

    هیچ گاه متوجه نشدم کشف قاعده مورد نظر طراح چه ارتباطی به هوش دارد.

    البته گفته می شود مفهوم هوش را باید با تعاریف عملیاتی اش فهمید: هوش آن چیزی است که فلان تست آن را می سنجد. هر تست متفاوت تعریف خاص خود را از هوش ارایه می کند.  

  3. سوال هوش سوال ریاضی نیست. بله، این مساله از نظر ریاضی جواب واحد ندارد. حتی عدد بعدی می‌تواند مختلط باشد، می‌تواند خیلی چیزهای دیگر باشد. سوال این نیست.

     

    هدف سوال این است که آیا خواننده می‌تواند pattern ای در داده داده‌شده مشاهده کند. اگر می‌خواهی می‌توانی این طور نگاه کنی: در کل جواب‌های ممکن کدام‌یک جوابی‌است که بالاترین likelihood را دارد که توسط یک انسان نوشته شده باشد. یعنی اگر به یک انسان بگویی یک دنباله‌ی ۵ جمله‌ای بنویس، با شرط اینکه چهار جمله اول داده شده، چه چیزی برای پنجمی محتمل‌تر است.

    • پس در ریاضی‌نبودنْ توافق داریم. الگوهایی هم که می‌شود یافت متفاوت‌اند (مثلاً در دنباله‌ی چهارعضوی‌ای که در سطرِ مستقل نوشته‌ام، دو الگو را توضیح داده‌ام).

      "محتمل‌تر"؟ متعجب—و ممنون—خواهم شد تعریفی برایش به‌دست بدهید که در این مورد بی‌‌معنی نباشد، چه برسد به اینکه بشود محاسبه‌اش کرد و دید چگونه می‌شود به‌کارش بست. در موردِ دومین اصصلاحی هم که به خطِ انگلیسی نوشته‌اید، اگر منظورتان چیزی غیر از احتمال است ممنون می‌شوم تعریفی به‌دست دهید یا به منبعِ مشخصی (نه چیزی مبهم مثلِ "همان‌طور که در فلسفه‌ی علم به‌کار می‌رود") ارجاع بدهید.

  4. سلام.

    به گمانم اصلاً اوضاعِ خوبی نیست وقتی بچه ها را از پایه سومِ دبستان مجبور می کنند در کلاسهایِ تستِ ریاضی!!! که جزء ِ برنامه رسمیِ برخی مدارسِ خاص هم شده است، شرکت کنند. درباره دنباله ها هم بله، صرفاً پیدا کردنِ الگویی است که مدِّ نظرِ طراحِ سوال بوده است و جواب/جوابها، بستگی به آشنا بودن یا نبودن با الگو/الگوها دارد. اما یک سوال:

    برادرزاده هایم هر دو دبستانی هستند و تازه با مفهوم ضرب آشنا شده اند. هر دو جدول ضرب را بلدند. یکی از آنها میتواند به دنباله مذکور جوابِ 32 دهد و دیگری نه. تحتِ این شرایط، آیا باز هم مضحک است که درباره هوشِ ریاضیِ آنها قضاوت کنیم وبگوییم یکی از آنها بهتر از دیگری بلد است قاعده ای (در اینجا ضرب) را به کار ببرد؟

     

  5. سلام.

    تصور می‌کنم که اگر گفته شود که قرار است هر جمله (از دومی به بعد) با دوبرابرکردنِ جمله‌ی قبلی به‌دست بیاید، در این صورت—با یکسان‌بودنِ بقیه‌ی چیزها— کسی که می‌تواند جوابِ 32 بدهد بهتر از دیگری قاعده را یاد گرفته. اگر چیزی با محتوای قسمتی که ایرانیک کرده‌ام گفته نشده باشد، در این صورت قاعده‌ای (فراتر از ذهنِ طراحِ محترم) در کار نیست تا بخواهیم توانایی‌ای را با با بسنجیم.

    • فرض کنید مثلا 100 مورد از این گونه دنباله ها را به برادرزاده های حمید داده باشیم و در هر 100 مورد، یکی از آنان دقیقا همان جمله مورد نظر طراح را حدس میزند.

      به نظرم این دلیل قوی ای باشه که او را نسبت به برادرش باهوش تر بدانیم.

      • به نظرم این فقط دلیلی است قوی برای اینکه او با روالِ کاریِ طراح آشناتر است.

        فرض کنید کسی می‌خواهد "آزمونِ هوش" طراحی کند و از این نوع سؤال‌ها هم در آن بگنجاند. یک سؤال همین است که جمله‌ی بعدیِ دنباله‌ی چهارعضوی‌ای که نوشته‌ام کدام است. گزینه‌ها هم اینها هستند: 32، 31، 17، 16. در پاسخ‌نامه‌ای که طراح برای تصحیح تهیه کرده است نوشته شده که جوابِ درستْ 31 است. شما، در مقامِ کسی که باید سؤال‌ها را پیش از امتحان بررسی کند، چه می‌کنید؟ آیا می‌گویید که طراح اشتباه کرده است؟ آیا در "آزمونِ هوش" قرار است امتحان‌دهنده تشخیص بدهد که—به تعبیرِ یکی از کسانی که در بالا نظر نوشته است—کدام دنباله را محتمل‌تر است که "یک انسان" نوشته باشد؟

        • می توانی بگویی که در آزمونِ هوشِ ایده‌آل چه چیزی باید سنجیده شود؟ می‌توانی بگویی "نه؛ اما می‌دانم که آن چیز، هر چه که هست، ذهن‌خوانیِ طراحِ-فلان-دنباله توسطِ امتحان‌دهنده نیست." یا می‌توانی بگویی که اصلا آزمونِ هوشِ ایداه‌آل خوش‌تعریف نیست. به نظرم هیچ کدام از این دو جواب قابلِ دفاع‌تر از مثلا تعریفِ کارکردی از هوش–که پیمان به دست داد–نیست.

          یا شاید پاسخ‌هایی غیر از این دو؟

          اما با این همه، و اگرچه خیلی معلوم نیست "هوش" چیست، هوش‌سنجِ من می‌گوید دانش‌آموزی که غالبا ضابطه‌های کمترمحتمل (!) را پیدا می‌کند، با فاصله هوش‌مندتر است از دانش‌آموزی که غالبا ضابطه‌های محتمل‌تر را پیدا می‌کند. حتی نادقیق‌تر: دانش‌آموزی که اصولا متفاوت فکر و نتیجه‌گیری می‌کند، اگر این تفاوت از سرِ بلد نبودن باشد، نتیجه‌ی هوشِ زیادش است. و این آخری را می‌شود با همین آزمون‌های فعلی هم تا حدودی سنجید: به جای سوال‌های چندگزینه‌ای، از دانش‌آموزان خواست تا ضابطه‌ای را که پیدا کرده‌اند بنویسند. این‌طور می‌شود فهمید که کسی که جوابی مغایر با مطلوبِ طراح داده، ضابطه‌ای متفاوت پیدا کرده بوده یا اصلا بی‌ضابطه مانده بوده.  

          • یکی از هدف‌های من تأکید بر این بود که سؤال‌هایی از این جنس که "عددِ بعدی چیست؟" سؤال‌های ریاضی نیست. 

            جوابِ پیمان اگرچه جالب است، گمان نمی‌کنم چندان قابلِ استفاده باشد: چرا باید علاقه‌مند باشیم کسانی را پیدا کنیم که در فلان "آزمونِ هوش" بهتر عمل می‌کنند، اگر که سؤال‌های آن آزمون به خودیِ خود چیزِ به‌دردخوری درباره‌ی قابلیت‌های ذهنی نگویند؟ (البته می‌شود به بازارِ کتاب‌های پرتیراژِ آمادگی برای آزمونِ ورودیِ مدارس هم فکر کرد!)

            با هوش‌سنجِ شما هم‌نظرم. و از بدی‌های تست و کنکور و این‌جور چیزها همین است که این نوع استعدادهای غیرقالبی را تضعیف می‌کند.

            • اگر آزمون‌های فعلی را آن‌گونه که گفتم تشریحی کنیم، آن‌وقت من شخصا بسیار علاقه‌مند خواهم بود که آدم‌های باهوش را پیدا کنم. خب البته این تنها-راهِ پیدا کردن‌شان نیست.

              دربابِ ملاحظه‌ی ریاضیاتی، بله موافق‌ام. واقعیت این است که به این توافق حضورِ ذهن نداشتم و بعد از خواندنِ این پست بود که دوباره یادم آمد که چه فکر می‌کنم. ممنون.

            • به نظرم بهتر است اول مشخص شود دقیقا چه می گوییم وقتی می کوییم "فلانی باهوش است"،  خصوصا که صفت بار ارزشی و روانی زیادی دارد. بدون این تعاریف عملیاتی متوجه نمیشوم چگونه میتوان به معنای دقیقی به این واژه بخشید. 

              صحبتم این نیست که این راه حل قابل استفاده است.  معتقدم اصلا در این مورد خاص، مفهوم خیلی مشخصی متناظر با" هوش"،  "توانایی ذهنی"  و "استعداد"  وجود ندارد بدون این تعاریف. 

              البته راه هایی هم برای قابل استفاده کردن تعا یف وجود دارد : آزمونی طراحی کنیم و ببینیم همبستگی بین کسب نمره بالا در این آزمون با موفقیت در امتحان ریاضی،  در شرایط یکسان به چه میزان است.  اگر میزان همبستگی معنادار بود،  می توانیم بگوییم نمره کسب شده در آزمون "هوش ریاضی"  را اندازه میگیرد.  البته قطعا نتیجه چنین آزمونی سنجش هوش مطلق نیست. 

        • به عنوان کسی که سوال ها رو باید پیش از امتحان بررسی کنم، خواهم گفت این سوال حذف شود چون جواب واحدی ندارد.

          اما فکر میکنم که اگر بین آن دو برادر، تست تعیین ضریب هوشی استانداردی (بدون چنین سوالاتی)گرفته شود، آن برادری که 100 دنباله را حدس درست زده، نتیجه بهتری خواهد گرفت.

          (میشود مواردی مشابه را آزمایش کرد)

           

           

  6. It's easier to reply in English. What I meant is likelihood of events from probability theory. We are maximizing the likelihood. The question you are asking is what is the probability distribution? It is a real world distribution, not something mathematically given. This is a very natural problem in machine learning.

     

    Consider a group X of people (let's say the designers of such tests). We pick one at random and ask them to generate a sequence of length 5. Now fix first 4 numbers in it and compute the conditional probability of the possible 5th number and pick one which maximizes it.

     

    You can ask how someone can predict this? The answer is by training on samples from that distribution. The tricky part is that the sequence is intended to have some mathematical relation and not be a randomly generated one, whatever that means. We don't need to define it more preciously than other humans would understand. You can give the instructions to a human that generate a sequence of 5 numbers with some mathematical relation and almost any non-mathematician with basic math training can do it (a mathematician might be unable to do so because they expect a rigorous definition). This is a distribution we can gather samples from. So practically speaking this is well defined.

     

    Now what is the point of this? What do students learn from it? Nothing maybe. The only mathematical thing it tests is familiraty with some basic mathematical concepts like powers of 2 for small exponents. But studies show that scores in these kinds of  tests are well corrolated with other cognitive skills.

    The occum's razor is what your would use for defining what is a simpler distribution. Essentially when learning the distribution from samples you want to maximize the entropy of the distribution.

    • نکته‌ی کلیدیِ حرفِ من درباره‌ی مفهومی است که دوبار در پاراگرافِ سوم‌تان ذکر کرده‌اید: رابطه‌ی ریاضی (mathematical relation). وقتی چهار جمله از دنباله داده شده است، هر ادامه‌ی این دنباله همان‌قدر با رابطه‌ای ریاضی تعریف شده است که هر ادامه‌ی دیگری. بینِ عددهای 2، 4، 8، 16، 32 همان‌قدر رابطه‌ای ریاضی هست که بینِ عددهای 2، 4، 8، 16، 17. (و من حتی توضیح دادم که برای هر کدام از این دو دنباله‌، یک چندجمله‌ای هست که دنباله را تولید می‌کند.)

      توسل به مفهومِ دیگری هم که ذکر کرده‌اید کمکی نمی‌کند: دنباله‌‌ی اول می‌تواند همان‌قدر تصادفی یا غیرتصادفی تولید شده باشد که دنباله‌ی دوم.

      در موردِ ملاکِ سادگی ممنون خواهم شد اگر مرجعِ مشخصی معرفی کنید (فراتر از ذکرِ کلّیِ تیغِ اکام).

      • حتی اگر قیدِ متناهی‌بودن را هم برداریم، هر دنباله‌ای همان‌قدر بینِ اعضایش رابطه‌ای ریاضی وجود دارد که هر دنباله‌ی دیگری—گرچه بعضی رابطه‌ها تعریف‌پذیر (definable) هستند بعضی نه: از مجموعه‌ی ناشمارای تابع‌های با دامنه‌ی اعدادِ طبیعی و با مقادیرِ در اعدادِ حقیقی، فقط تعدادی شمارا تعریف‌پذیرند. اما این هم وضعیت را، از جنبه‌ی موردِ‌ نظرِ من،‌تغییر نمی‌دهد: دنباله‌ای که با 1 شروع می‌شود و هر جمله‌اش دوبرابرِ قبلی است همان‌قدر تعریف‌پذیر است که دنباله‌ای که با 2، 4، 8، 16 شروع می‌شود و با مقدارِ ثابتِ 17 ادامه پیدا می‌‌کند.

      • https://en.m.wikipedia.org/wiki/Principle_of_maximum_entropy

         

        Yes, from mathematical perspective there are no difference. From another perspective these sequences have very different   probability of being generated by a human with basic mathematical knowledge. 

         

         Let's make it concrete: are claiming that 2 4 8 16 32 has the same probability of being generated by a human that 2 4 8 16 31 has when asked to give a sequence of numbers of length 5 with some mathematical relation? It is a social claim that we can verify our refute by gathering samples from a human population. We can also get the fraction of people who would ask what do you mean by mathematical relation. My claim is that they would be rather infrequent and extensive mathematical knowledge. Most in general population would answer with a sequence of 5 numbers.

         

        I don't disagree with you it doesn't have much mathematical value. Someone world ask what do you mean by a mathematical relation has more mathematical potential in my opinion. But as a general IQ question it is useful, it just doesn't work well on people with deeper mathematical knowledge.

        • پس در موردِ (ارزشِ) محتوای ریاضی این سؤال‌ها اختلافِ نظر نداریم.

          ادعای شما در این مورد که، از بینِ کسانی که آموزشی مقدماتی در ریاضیات دیده‌اند، چه درصدی دنباله‌ی چهارعضوی‌مان را با 32 ادامه می‌دهند البته قابلِ بررسی است. به فرضِ صحّتِ حدسِ شما (که من در موردش مطمئن نیستم)، سؤالی که قرار است هوش را بسنجد عملاً تبدیل می‌شود به سؤالی که جوابِ درست‌اش منوط است به رفتارِ گروهِ خاصی از افرادِ اجتماع. این به خودیِ خود می‌تواند بی‌اشکال باشد؛ اما توجه کنید که عقلانی‌سازی‌ای که برای این آزمون‌ها پیشنهاد می‌کنید شاید راه را برای سؤال‌هایی از این دست هم باز کند:

          آیا آبیِ روشن زیباتر است یا صورتی؟ [فرضِ شاید حتی درستِ طراح می‌تواند این باشد که از بینِ کسانی که آموزشی مقدماتی در نقاشی دیده‌اند بیش از 87 درصدشان آبیِ روشن را زیباتر از صورتی می‌یابند.] آیا همشهری کِین فیلمِ بهتری است یا پدرخوانده؟ و غیره. 

           

  7. سلام کاوه، با اصل حرفت موافقم. اما یک امکان برای دفاع از پاسخ«۳۲» شاید این باشد که دست کم این طوربه نظر می آید که این پاسخ نتیجه کوتاه ترین دستورالعمل ( کمینه کننده پیچیدگی کلموگوروف) برای محاسبه همه دنباله های واجد شرایط است. البته متوجه هستم که محاسبه پیچیدگی کلموگوروف مستلزم انتخاب زبان و توابع مقدماتی است، ولی بتوان شاید با کمی اغماض پذیرفت که مخاطبین چنین سوالی نوعا دریافتی شهودی از این مفهوم دارند و پاسخ با پیچیدگی کمتر را متفاوت از سایر پاسخ‌ها می بینند.

    • سلام کیوان. بسیار ممنون.

      گمان می‌کنم موضوعِ زبان و توابعِ مقدماتیْ کاملاً جدی باشد. اما، غیر از این، مثالی که من ذکر کرده‌ام خیلی مقدماتی است، و مثال‌های آزمون‌های "هوش" نوعاً پیچیده‌ترند. مثلاً در معمایی که اخیراً در بی‌بی‌سی فارسی منتشر شده جوابِ "درست" را این‌طور توضیح داده‌اند:

      برای به دست آوردن عدد داخل هر مثلث باید عدد راس بالا را منهای عدد راس پایین سمت چپ کنید و حاصل را در عدد راس پایین سمت راست ضرب کنید.

      با توجه به اینکه سه جمله‌ی اولِ دنباله را در سؤال داده‌اند (8، 6، 6)، گمان می‌کنم پیچیدگیِ کولموگرفیِ این راه‌حلْ کمتر باشد: اول 8، بعد از آن همواره 6.

      موافقی؟

       

       

  8. به نظرم معمای بی‌بی‌سی مثال خیلی خوبی است وبه نظر من پاسخ داده‌ شده حتی درمقایسه با مثال توان های ۲ دلبخواهی‌تر است. یک جنبه ابهام‌آمیز دیگر این معما هم این است که معلوم نیست آیا داده های مساله دنباله ای ازمثلث‌های همراه با آرایشی از اعداد، وهدف پیدا کردن قانونِ تحول دنباله است و یا اینکه (چنان که پاسخ مساله می‌رساند) ترتیب مثلث‌ها نقشی ندارد و هدف پیداکردن یک تابع سه متغیره است.      

پاسخ دهید