اینها را در هر درسِ مقدماتیِ نظریه‌ی مجموعه‌ها می‌‌گویند

دوستِ بسیار جوانی چیزی در شبکه‌های اجتماعی دیده است و نامه‌ای برایم نوشته است. جواب‌اش شاید برای کسانی که تازه با نظریه‌ی مقدماتیِ مجموعه‌های آشنا شده‌اند مفید باشد.

چیزهایی که نوشته‌ای، اگرچه می‌پذیرم که هیجان‌انگیزند، درست و دقیق نیستند. یکی اینکه چیزی که قبلاً به آن ’پارادوکسِ راسل‘ می‌گفته‌اند واقعاً این نیست که هیچ مجموعه‌ای عضوِ خودش نیست.

توضیح اینکه در پایانِ قرنِ‌ نوزدهم و ابتدای قرنِ گذشته این تصور در بینِ ریاضیدانان رایج بوده است که با هر خاصیتی می‌شود یک مجموعه ساخت که دقیقاً تشکیل شده باشد از همه‌ی آن چیزهایی که آن خاصیت را دارند. (و البته خودِ این مفهومِ خاصیتْ گرفتاری‌هایی دارد؛ اما حالا بیا فرض کنیم که مثلاً هر فرمولِ معناداری که با نشانه‌ی تعلق و پرانتز و سورها و ادات‌های منطقی بشود نوشت بیان‌کننده‌ی یک خاصیت است.) راسل [بله: همان فیلسوفِ بزرگِ برنده‌ی جایزه‌ی نوبلِ ادبیات] نشان داد که این‌طور نیست که هر خاصیتی سازنده‌ی یک مجموعه باشد. چطور؟ با توصیفی از خاصیت که در پرانتز گفتم، عضوِ خود نبودن یک خاصیت است. حالا اگر هر خاصیتی سازنده‌ی یک مجموعه می‌بود، مجموعه‌ای می‌داشتیم متشکل از دقیقاً آن چیزهایی که عضوِ خودشان نیستند. آیا خودِ این مجموعه عضوِ خودش هست؟ سخت نیست دیدنِ اینکه هم جوابِ مثبت و هم جوابِ منفی به تناقض می‌رسد. نتیجه: مجموعه‌ی وجود ندارد که دقیقاً از آن چیزهایی تشکیل شده باشد که عضوِ خودشان نیستند. نتیجه‌ی مهم‌تر: این‌طور نیست که با هر خاصیتی بشود یک مجموعه ساخت. نفیاً یا اثباتاً، این ربطی به این حکم ندارد که مجموعه‌ای وجود دارد که عضوِ خودش است. اما می‌شود اثبات کرد—و این یک مسأله‌ی یکی از امتحان‌های سالِ پیش از تو بود—که مجموعه‌ی متناهی‌ای وجود ندارد که هر عضوش زیرمجموعه‌‌اش باشد.

وقتی که چند سال بعد از کشفِ راسل خواستند اصولی برای مجموعه‌های بنویسند (شبیه به کاری که اقلیدس برای هندسه کرده بود)، راهی که مقبول‌تر واقع شد این بود که بگویند برای ساختنِ مجموعه‌ها با کمکِ خاصیت‌ها، باید خاصیت را بر مجموعه‌ای اِعمال کنی که از پیش وجودش اثبات شده باشد. یعنی مجاز نیستی صحبت از مجموعه‌ای کنی متشکل از همه‌ی چیزهایی که خاصیتِ خ دارند؛ بلکه حرفِ مجاز این است: به ازای هر مجموعه‌ی الف و هر خاصیتِ خ، یک مجموعه‌ی ب وجود دارد که دقیقاً از آن اعضایی از الف تشکیل شده که خاصیتِ خ دارند. یعنی کاری که می‌توانیم با خاصیت‌ها بکنیم این است که زیرمجموعه‌هایی از مجموعه‌های نقداً موجود را جدا کنیم. و از اینها به‌سادگی نتیجه می‌شود که مجموعه‌ای متشکل از همه‌ی مجموعه‌ها وجود ندارد. (اگر وجود می‌داشت، همان خاصیتِ راسلی را بر آن اِعمال می‌کردیم و به تناقض می‌رسیدیم.) و حتی بیشتر از این را هم می‌شود نسبتاً به سادگی اثبات کرد: هر مجموعه زیرمجموعه‌ای دارد که عضوِ آن مجموعه نیست. 

اینها هنوز ربطی ندارند (یا ربطی که من از آن آگاه باشم ندارند) به اینکه مجموعه‌ای وجود دارد که عضوِ خودش باشد یا نه. 

آیا مجموعه‌ای هست که عضوِ خودش باشد؟ اصولِ ابتداییِ نظریه‌ی مجموعه‌ها در این مورد ساکت بودند. در دهه‌ی دومِ قرنِ بیستم اصلی پیشنهاد شد که یک نتیجه‌اش این است که هیچ مجموعه‌ای عضوِ خودش نیست. اصل‌ِ انتظام می‌گوید که هر مجموعه‌ی ناتهی عضوی دارد که اشتراکِ آن عضو با آن مجموعهْ تهی است. (و این اصل نقض می‌شد اگر مجموعه‌ی وجود می‌داشت که عضوِ خودش می‌بود: اگر الف عضوِ الف باشد، آنگاه مجموعه‌ی تک‌عضویِ {الف} عضوی ندارد که اشتراک‌اش با آن تهی باشد.) اما نتایجِ قوی‌تری هم دارد، مثلاً‌ اینکه زنجیریِ نزولیِ نامتناهی‌ای از مجموعه‌ها وجود ندارد که هر کدام عضوِ قبلی باشد. اصلِ انتظام (که ظاهراً در ریاضیاتِ معمول—غیر از خودِ نظریه‌ی مجموعه‌ها—کاربردِ چندانی ندارد) وسیعاً پذیرفته شده است. اما نکته‌ی مهم این است که این اصل مستقل از بقیه‌ی اصولی است که می‌شناسیم: یعنی اینکه فی‌الواقع احمقانه است که سعی کنی با اشتراک و اجتماع و زیرمجموعه‌سازی و نظایرِ اینها اثبات کنی که هیچ مجموعه‌ای عضوِ خودش نیست یا سعی کنی مجموعه‌ای بسازی که عضوِ خودش باشد. مثلِ این است که سعی کنی اصلِ پنجمِ اقلیدس را با استفاده از چهار اصلِ دیگر اثبات یا نقض کنی.)

در دهه‌ی هشتادِ قرنِ قبل این را به‌تفصیل بررسی کردند که چه می‌شود اگر این اصل را بردارند و اصلِ متعارضی به‌ جایش بگذارند. من در این قسمت (هم) خیلی سواد ندارم؛ اما اجمالاً خبر دارم که کاربردی جدی دارد در یک رهیافت به پارادوکسِ‌ دروغگو.

[…]

 

2 نظر برای "اینها را در هر درسِ مقدماتیِ نظریه‌ی مجموعه‌ها می‌‌گویند"

  1. من سواد خیلی محدودی درباره نظریه‌ی مجموعه‌ها دارم، با این حال یک تکه از نوشته‌تون نظرم رو جلب کرد: اون‌جایی که از تسلسل نزولی بی‌انتهای مجموعه‌های تک عضوی گفتید. بی انتها بودن تسلسل در این مورد می‌تونه بی‌اشکال باشه؛ چون وقتی از ب = {ب} می‌گیم تسلسلی که باهاش رو به روییم تسلسل ابتنای وجودیِ (ontological dependence منظوره، من به خوبی شما بلد نیستم ترجمه کنم مسلماً) ب، ب، ب، ب،… است. وقتی در هر سطح ابتنا با یک نوع موجود رو به روییم در وافع تسلسل "کسالت آوره" و بی آزار. به عبارت دیگه اینطور نیست که در هر سطح یک موجود جدید داره معرفی می‌شه و به همین جهت این تسلسل تکراری برای "نظریه" یا "تعریف" مشکلی ایجاد نمی‌کنه. 

    شاید خیلی بی‌ربط بود به اون‌چه شما اینجا نوشتید، فقط فکر کردم گفتنش بی ضرره وقتی حل مشکل تسلسل رو از "نتایج قوی‌تر" عنوان کرده بودید.

    • "تک‌عضوی" را شما اضافه کردید!

      اصل‌موضوعِ انتظام به‌سادگی نتیجه می‌دهد که هیچ مجموعه‌ای نمی‌تواند عضوِ‌خودش باشد (اثبات را گفتم). حالا نشان می‌دهم دنباله‌ای نامتناهی از مجموعه‌های م1، م2، … وجود ندارد که، از دومی به بعد، هر کدام عضوِ قبلی باشد (مثلاً هشتادونهمی عضوِ هشتادوهشتمی باشد). فرض کنیم چنین دنباله‌ای وجود می‌داشت. مجموعه‌ی متشکل از اینها را بسازید و ن بنامید. (چرا ن وجود دارد؟ چون هر دنباله تابعی است با دامنه‌ی مجموعه‌ی اعدادِ طبیعی؛ هر تابع، بُردی دارد، و ن بردِ این دنباله است.) حالا وجودِ ن اصل‌موضوعِ انتظام را نقض می‌‌کند: هیچ‌کدام از اعضای ن با ن اشتراکِ تهی ندارد.

      چیزی که الآن اثبات کردم واقعاً حکمی است که حکمِ اول را (یعنی این را که هیچ مجموعه‌ای عضوِ خودش نیست) نتیجه می‌دهد: اگر ب عضوِ ب می‌بود، دنباله‌ی نزولیِ نامتناهیِ ب، ب، … را می‌داشتیم.

پاسخ دهید