آهسته و پیوسته، حتی اگر مسیر طولانی‌تر بشود

دومِ خردادِ ۱۳۹۶.

منظورم همین است که نوشته‌ام: حتی اگر مسیر طولانی‌تر بشود (نه اینکه حتی اگر طولانی‌تر از آنی باشد که در ابتدا تصور کرده بودیم).

از وبلاگ‌های بسیار معدودی که می‌خوانم یکی هست که نویسنده‌اش را نمی‌شناسم، یا دست‌کم در مقامِ نویسنده‌ی آن وبلاگ نمی‌شناسم. چند وقت پیش مطلبِ تأمل برانگیزی نوشته بود و من ذیل‌اش چیزی نوشتم (اعنی: کامنت گذاشتم). تا امروز که بیش از دو هفته گذشته است آن یادداشتِ چندسطریِ من منتشر نشده است؛ به نظرم رسید که، برای تغییرِ ذائقه و بیرون‌آمدن از فضای انتخابات، با توضیحِ بیشتری در اینجا منتشرش کنم.

مطلبی که ذیل‌اش چیزی نوشته بودم حرفی بود درباره‌ی اینکه گاهی برای چیزی مرزی تعیین می‌کنیم و می‌گوییم که موضوع را از آنجا به بعد تحمل نخواهیم کرد، اما حواس‌مان نیست که، در مواردی، ما که جلوتر که می‌رویم آن مرز هم جلوتر می‌رود. (مثلاً آن مرزْ می‌تواند حدِ تحملِ ما در برابرِ درد باشد، و هم‌چنان که درد زیاد می‌شود شاید آستانه‌ی تحملِ ما هم بالاتر برود.) اصلِ مطلب البته جالب است و می‌شود درباره‌اش فکر کرد. چیزی که می‌خواهم بگویم—بدونِ اینکه در این توهّم باشم که مسائلِ عمیقِ انسانی را می‌شود با ریاضیاتِ مقدماتی حل کرد—مسأله‌ای در ریاضیات است که شاید مدلی برای این موضوع باشد و شاید نباشد. و این مسأله نمونه‌ای از پارادوکس‌های آن اندیشمندِ اِلِئایی نیست.

مسأله مسأله‌ی نسبتاً مشهوری در رشته‌های همساز است و جورهای مختلفی می‌شود بیان‌اش کرد و با معلوماتِ دبیرستانی می‌شود به آن پرداخت (در همین سالِ تحصیلی‌ای که در اواخرش هستیم، من در دو کلاسِ دهم مسأله را مطرح کردم و با هم حل کردیم). فرض کنیم حلزونی در یک سرِ یک نوارِ لاستیکی قرار گرفته است و به طرفِ دیگرِ نوار—که به شکلِ خطی مستقیم است—حرکت می‌کند. طولِ نوار یک‌ کیلومتر است و سرعتِ حلزون یک سانتی‌متر در ثانیه. (پس حلزون اگر بخواهد بی‌توقف مسیرِ مستقیمِ یک‌کیلومتری را طی کند صدهزار ثانیه طول خواهد کشید.) تا اوضاع سخت‌تر بشود، بیایید فرض کنیم که نوارِ لاستیکی کِش می‌آید: نوار، به شکلی همگن، در پایانِ هر ثانیه یک‌ کیلومتر طولانی‌تر می‌شود: پس بعد از یک ثانیه طولِ نوار می‌شود دو کیلومتر، بعد از دو ثانیه می‌شود سه کیلومتر، و غیره. آیا حلزون به انتهای مسیر می‌رسد؟ جواب این است که بله!

چرا؟

در مدتِ یک ثانیه‌ی اول، حلزون مجموعاً 0.00001 از طولِ اولیه‌ی مسیر را طی می‌کند (یعنی نسبتِ راهی که رفته به کلّ راه  5−10 است)؛ اما چون در پایانِ ثانیه‌ی اول طولِ مسیر یک کیلومتر اضافه شده است و شده است دو کیلومتر، نسبتِ راهی که حلزون طی کرده است به کلّ طولی که مسیر در پایانِ ثانیه‌ی اول دارد عبارت است از  5−10*½.  حلزون در یک ثانیه‌ی دوم باز یک‌ سانتی‌متر جلو می‌رود، و بنابراین کلّ مسیری که از ابتدای حرکت تا پایانِ ثانیه‌ی دوم طی می‌کند دو سانتی‌متر است؛ چون در پایانِ ثانیه‌ی دوم طولِ مسیر سه کیلومتر شده است (مسیر کِش آمده است)، پس در پایانِ ثانیه‌ی دوم نسبتِ مسیری که حلزون طی کرده است به کلَ مسیر برابر است با   5−10*⅓ +   5−10*½. در پایانِ ثانیه‌ی nام، حلزون این کسر از مسیر را طی کرده است:

  (½)(105) + (⅓)(105)+ (¼)(105)+…+ (1/n)(105).

آیا امیدی هست که، با زیادشدنِ n، این مقدار بیش از 1 بشود؟ (یادمان هست که چیزی که در سطرِ بالا آمده نسبتِ مسافتِ طی‌شده به کلّ مسافت است.) خُب، از  5−10 اگر فاکتور بگیریم می‌بینیم سؤال‌مان این است: آیا امیدی هست که، با زیادشدنِ n،

(10-5)(½ + ⅓ + ¼ + … + 1/n)

بیشتر از 1 بشود؟ جواب این است که بله، چرا که، با زیادشدنِ n، مقدارِ داخلِ پرانتز می‌تواند از هر مقدارِ ازپیش‌تعیین‌شده‌ای بیشتر بشود (در اینجا برای ما مهم است که از صدهزار بیشتر بشود). پس حلزون قطعاً به انتهای نوار خواهد رسید.

اینکه آیا می‌رسد یا نه چیزی است که اثبات‌اش سخت نیست (ریاضیدانان می‌گویند که رشته‌ی همسازْ واگرا است).* موضوع را اگر عجیب می‌یابیم شاید کمکی کند وقتی توجه کنیم که اگرچه مسیر طولانی و طولانی‌تر می‌شود، اما حلزون هر بار که به عقب نگاه کند توجه خواهد کرد که مقداری که از نقطه‌ی شروع فاصله گرفته است بیشتر از آنی است که خودش حرکت می‌کرد اگر که مسیر کش نمی‌آمد.

 * اثباتِ اینکه مقدارِ داخلِ پرانتز دیر یا زود از هر عددی بزرگ‌تر می‌شود آسان است. جمله‌ی اول را فعلاً کنار بگذاریم. مجموعِ دو جمله‌ی بعدی (یعنی جمعِ ⅓ و ¼) بیشتر است از ¼ + ¼، یعنی بیشتر از ½ است. مجموعِ چهار جمله‌ی بعدی (از یک‌پنجم تا یک‌هشتم) بیش از مجموعِ چهار تا یک‌هشتم است، یعنی بیشتر از ½ است. و به همین ترتیب. یعنی آنچه در پرانتز داریم بزرگ‌تر است از تعدادی ½. پس n  را اگر به اندازه‌ی کافی بزرگ بگیریم، آنچه در پرانتز است از هر عددِ ازپیش‌تعیین‌شده‌ای بزرگ‌تر می‌شود.

 

12 نظر برای "آهسته و پیوسته، حتی اگر مسیر طولانی‌تر بشود"

  1. در این مساله فرض تلویحی این است که «کش از هر دو طرف کش می‌آید». به عبارتی اگر طرفی از کش که حلزون از آن حرکتش را آغاز کرده بود ثابت شده بود (با بستن ابتدای کش به یک میله ثابت)، حلزون در هر ثانیه از مقصد دورتر می‌شد. چه بسا مدل پیشرفت ما این‌گونه است.

    پ.ن.: شاهدی که دارم پارالل بین ۱)انتخابات دوم خرداد ۷۶، ۲)انتخابات شورای اول ۷۷، ۳) مجلس ششم ۷۸ و ۴) ریاست جمهوری ۸۰ و ۱) ریاست جمهوری ۹۲، ۲) مجلس ۹۴، ۳) شورای ۹۶ و ۴) ریاست جمهوری ۹۶ است. 
    دلیل پیروزی در هر ۴ انتخابات موازی «امید» مردم به اصلاحات از درون در مقطع مربوطه بود، امیدی که در نهایت در ۸۴ کاملا ناامید شد (و به نظرم به ویژه به دلیل هرج و مرج شورا، کابینه ضعیف دوره دوم خاتمی با وجود مجلس پشتیبان ششم، ابتر ماندن مجلس ششم و در نهایت تیرِ خلاصِ برگزاری انتخابات مجلس هفتم توسط دولت ناتوان خاتمی، کاملا موجه بود.) 
    «گذشته چراغ راه آینده است»، نیم‌نگاهی به گذشته داشته باشیم.

    • سلامٌ علیکم. در موردِ قسمتِ اولِ نوشته‌تان، برایم روشن نیست که کجا از آن "فرض تلویحی" استفاده شده. مشخصاً: گمان می‌کنم که نتیجه‌ی نهایی با فرضِ مصرّحِ "بستن ابتدای کش به یک میله ثابت" تغییر نکند (می‌شود اثبات را دوباره بررسی کرد).

      در موردِ قسمتِ دومْ حرفی ندارم.

      • سلام، درست می‌فرمایید، فرض مساله، یونیفورم بودن کشش در طول کش است و فارغ از ثابت بودن ابتدا یا انتهای کش استدلال درست است.

        ولی اگر صورت مساله به جای افزایش یک کیلومتری طول مسیر، دو برابر شدن طول مسیر در هر ثانیه باشد، سری نوشته شده همگرا می شود و حلزون به انتها نمی‌رسد.

        نتیجه می‌گیرم بستگی دارد طولانی شدن مسیری را که داریم طی می‌کنیم چگونه مدل کنیم (دو فرض همگن بودن و افزایش طول به یک اندازه ثابت در هر ثانیه).

        متاسفانه همچنان در مورد قسمت دوم به آینده بدبینم!

      • جناب لاجوردی عزیز!

        الف) بدون آن "فرض تلویحی" که قطعا حلزون کذایی در نهایت محزون میشد. آنجایی که ( صرف نظر از 5-^10) نسبت 1/2 را با 1/3 جمع فرمودید یعنی فرض کردید گذشته در حال کش آمدن است والا نسبت مسیر طی شده به کل مسیر در پایان ثانیه دوم به سادگی میشد 1/3+1/3 و شما بهتر از من می دانید که این تفادت های جزئی چقدر در نتیجه موثر است.

        حلزون در یکی از همین کش آمدن های گدشته است که از ته طناب رد می شود چون زمانی می رسد که کش آمدگی گذشته ای که بسیار بزرگ شده از مقدار افزایش طول کش جلو می زند و درعالم ریاضیات به نظر می رسد ناگهان حلزون ته طناب را رد کرده است. 

        ب) در عالم واقع، گذشته کش آمدنی نیست و ما و نسل های بعدی باید تاوان همه عقب ماندگی های انباشته شده را بدهیم.

        تنها در عالم ادراک و فهم است که می شود با بازبینی واقع بینانه گذشته، کمی از شدت خسارت کاست. ای بسا که با این رویکرد، دوره احمدی نژاد آموزنده تر از هر دوره دیگر و کش آمده ترین دوره در تاریخ معاصر باشد. 

  2. پس از سلام، فکر می کنم مسالۀ اصلی ، ابهام در واژۀ «حلزون» ای است که می خواهد  به انتهای مسیر برسد.آیا منظور « یک حلزون » است یا « نوع حلزون»؟ گرچه منطقی به نظر می رسد که نوع حلزون بتواند به انتهای مسیر برسد ، ولی فکر می کنم  کسانی که از سرعت پیشرفت امور نا امیدند، امکان رسیدن خودشان به انتهای مسیر، به عنوان «یک انسان با عمر محدود» را  مدنظر دارند. بنابراین اگر سوال دربارۀ «یک حلزون» باشد به نظر منطقی می رسد که باید مولفۀ عمر را هم وارد معادله کرد.

  3. اگر صورت‌بندی شما را مبنا بگیریم لازم است درباره‌ی این جمله از توضیحات شما تجدید نظر شود: « بنابراین کلّ مسیری که از ابتدای حرکت تا پایانِ ثانیه‌ی دوم طی می‌کند دو سانتی‌متر است».

    زیرا اینکه حلزون در یک ثانیه‌ی دوم باز یک‌ سانتی‌متر جلو می‌رود درست است اما نظر به کش‌آمدنِ نوار، مسیری که از ابتدای حرکت تا پایان ثانیه‌ی دوم (در عمل) طی کرده است بیشتر از 2 سانتی‌متر خواهد شد.

    • حق با شما است. در حالتِ کلّی هم کسری از مسیر که حلزون تا ثانیه‌ی nام طی کرده است بیشتر از آنی است که نوشته‌ام. اما این موضوع نتیجه‌ی نهایی را تغییر نمی‌دهد: مقداری کوچک‌تر از نسبتِ مسافتِ طی‌شده به کلّ مسافت، نهایتاً بیش از 1 می‌شود؛ پس حلزون نهایتاً همه‌ی مسیر را طی خواهد کرد. بابتِ تذکر و اصلاح ممنون‌ام.

  4. من با جواب شما مخالف هستم، اگر نمودار x-t اين دو متحرك را در نظر بگيريم ( كش را هم نوعي متحرك در نظر بگيريم) هر دو ان ها واگرا به مثبت بينهايت هستند اما شيب كش بسيار بيشتر است و هيچ وقت به همديگر نمي رسند 

    مانند اين است كه بگوييم  n واگراي به مثبت بينهايت است و n! واگراي به مثبت بينهايت پس به هم ميرسند  اما n! در بينهايت از n بزرگتر است

پاسخ دهید