ریاضیاتِ سالِ دهم: امتحانِ معادله‌ی درجه‌ی دوم

[دانش‌آموزان‌ام در این امتحان بسیار خوب عمل کرده‌اند. رهیافتِ ما به سهمی با کتابِ درسیِ آموزش و پرورش تفاوت داشته‌ است: ما تعریفِ هندسیِ سهمی را مطالعه‌ کرده‌ایم و بعد معادله‌‌ی سهمی‌ای با خطِ هادیِ موازیِ یکی از محورها را به‌دست آورده‌ایم. با تعریفِ کتابِ درسی، پاسخِ آخرین سؤالِ امتحان (سؤالِ امتیازی) منفی می‌بود. سؤالِ ۶ عمداً چنان طرح شده که ریشه‌های صورت گنگ باشند و سؤال دارد این را هم می‌سنجد که ترتیبِ ریشه‌های صورت و مخرج به‌درستی تعیین شوند. در موردِ‌ سؤالِ ۱۱: از طریقِ دیگری این ایده مطرح شده بوده است که عبارت‌هایی که به توانِ مجذورِ x رسیده‌اند مزدوجِ یکدیگرند.]
 
توجه: در این امتحان، جواب‌های تقریبی (حتی با تقریبِ بسیار بالا) پذیرفتنی نیست. مثلاً جذرِ 2 را نمی‌توانید به صورتِ 1.4142135623731 بنویسید.
 
پیشنهاد: برای کم‌کردنِ احتمالِ اشتباه،‌ معادله‌ی درجه‌‌ی دومِ خاصی را در چرک‌نویس بررسی کنید و ببینید که مجموع و حاصل‌ضربِ ریشه‌هایش چیست.
 
 
 
بخشِ اول. [هشتاد دقیقه]
 
۱. معادله‌ی 5x2 12x + 2 = 0 را در نظر بگیرید. بدونِ به‌دست‌آوردنِ جواب‌های معادله به این پرسش‌ها پاسخ دهید. [هر قسمت ۱ نمره]
 
(الف) توضیح دهید که چرا این معادله دو جواب دارد.
 
(ب) توضیح دهید که جواب‌ها مثبت هستند یا منفی.
 
(پ) اگر α و β جواب‌های این معادله باشند، مقدارِ عددیِ α2 + β2 چقدر است؟
 
(ت) اگر α و β جواب‌های این معادله باشند، مقدارِ عددیِ مجموعِ ریشه‌های دومِ α و β چقدر است؟
 
۲.
(الف) آیا معادله‌ی درجه‌ی دومی وجود دارد که دو جواب داشته باشد و مجموعِ جواب‌هایش 61 و حاصل‌ضربِ جواب‌هایش 2030 باشد؟ اگر بله، معادله‌ای با این ویژگی بنویسید؛ اگر نه،‌ دلیل بیاورید. [۱ نمره]
 
(ب) معادله‌ی درجه‌ی سومی بنویسید که 1395 و 29 دو تا از جواب‌هایش باشد (مهم نیست که معادله‌ای که می‌نویسید جوابِ دیگری هم داشته باشد یا نه؛ اگر معادله‌ای که می‌نویسید جوابِ دیگری هم دارد، مهم نیست آن جواب چه باشد). لازم نیست معادله را به شکلِ استاندارد بنویسید. [۱/۵ نمره]
 
۳. آیا عبارتِ x2 + 2x + 70 را می‌شود تجزیه کرد؟ اگر بله، تجزیه کنید؛ اگر نه، دلیل بیاورید. [۱ نمره]
 
۴. این عبارت را به صورتی بنویسید که حاویِ رادیکال‌های تودرتو یا رادیکال‌های با فُرجه‌ی بزرگ‌تر از 2 نباشد. [۱ نمره]
 
(10 + 2√21)
۵. این معادله‌ها را حل کنید. [هر قسمت ۱ نمره]
 
(الف)
x2 − 8x + 21 = 0
 
(ب)
x4x2 − 42 = 0
 
(پ)
x3 + x2 + x 14 = 0
 
۶. این عبارت را تعیینِ علامت کنید. [۱/۵ نمره]
 
(3x2 + 7x − 3) / (− x2 + x).
 
 
—-
مسأله‌ی امتیازی (۱ نمره).
فرمولِ جواب‌های معادله‌ی درجه‌ی دوم را در حالتِ کلّی به‌دست آورید.
 
 
 
بخشِ دوم [هشتاد دقیقه].
 
۷. این سهمی را در دستگاهِ مختصات رسم کنید. باید این نقطه‌ها در نمودارتان با ذکرِ‌ مختصاتْ مشخص باشند: رأسِ سهمی، محل‌های تقاطع با محورها (اگر که تقاطعی وجود دارد). [۱/۵ نمره]
 
y = 2x2 + x − 3.
 
۸. بدونِ‌استفاده از فرمول‌های سهمی، بیشترین مقدار و کمترین مقدارِ این عبارت‌ها را محاسبه کنید (هر کدام که وجود دارد). [هر قسمت ۰/۵ نمره]
 
(الف)
y = 2x2 + 3x − 1
 
(ب)
y = 3x2 + 6x + 2
 
۹.
(الف) آیا ممکن است دو سهمی هیچ محلِ تقاطعی نداشته باشند؟ اگر بله، مثال بزنید (با ذکرِ معادله)؛ اگر نه، دلیل بیاورید. [۰/۵ نمره]
 
(ب) مختصاتِ نقاطِ تلاقیِ این سهمی‌ها را به‌دست آورید. [۱ نمره]
 
y = x2 − 2x, y = x2 − 2x +8.
 
۱۰. این معادله را حل کنید: [۱/۵ نمره]
((x − 2) / (3x + 1))2 − 4(x − 2) / (3x + 1) + 3 = 0.
 
۱۱. این معادله را حل کنید. [۱/۵ نمره]
 
(45 − 211)x2 + (45 + 211)x2 = 180.
 
—-
مسأله‌ی امتیازی (۰/۵ نمره).
آیا ممکن است دو سهمیِ متمایز بیش از دو نقطه‌ی مشترک داشته باشند؟ اگر بله، مثال بزنید (با ذکرِ معادله‌های سهمی‌ها)؛ اگر نه، دلیل بیاورید.

 

 

یک نظر برای "ریاضیاتِ سالِ دهم: امتحانِ معادله‌ی درجه‌ی دوم"

پاسخ دهید